193 centimetrov visoki nogometaš je nazadnje nastopal za slovaški Slovan Liberec, katerega barve je branil preteklo sezono in pol. Nogometno pot je začel pri Slovanu, nato je sledil odhod k Interblocku, leta 2011 pa je Vuklišević prestopil v Maribor. Pri 18 letih je s statusom posojenega igralca odšel na kaljenje v NK Veržej, prvoligaške izkušnje pa je nabiral pri NK Krško in NK Rudar Velenje. V mladinskih kategorijah je bil član ljubljanskega Interblocka in Slovana, dvajset nastopov ima tudi v mlajših selekcijah izbrane vrste.
V Prvi ligi Telekom Slovenije je v dresih omenjenih klubov zbral 61 nastopov, ob podpisu sodelovanja z dvakratnimi državnimi prvaki pa je za spletno stran Domžal povedal: "Zares sem vesel, da sem prišel v takšno okolje in po najboljših močeh sem bom trudil na vsakem treningu in vsaki tekmi. Domžale so urejen in dobro organiziran klub. Poznam način dela, zato odločitve o prihodu v novo sredino ni bilo težko sprejeti. Moštvu želim pomagati po najboljših močeh, zato začetek že nestrpno pričakujem."
Športni direktor Matej Oražem je o prihodu novega branilca, ki bo v rumenem nastopal s številko 3, dejal: "Obramba nam je na začetku letošnje sezone, z izjemo zadnje tekme, predstavljala velik izziv in nam odnesla kar nekaj prepotrebnih točk. Obenem nas je po dolgem času zapustil Gaber Dobrovoljc in nujno je bilo, da hitro poiščemo zamenjavo. Našli smo jo v Damjanu Vukliševiću, igralcu, ki dobro pozna slovensko ligo. Tukaj je že bil uspešen in kljub ne najbolj uspelem poizkusu prehoda v tujino, smo prepričani, da lahko naši ekipi pomaga povrniti prepotrebno stabilnost v zadnji vrsti. Vsekakor bomo potrebovali tudi njegovo višino, ki je dodana vrednost in nekaj česar naša ekipa v tem trenutku nima."
